প্ৰয়োজনীয় সূত্ৰ আৰু ধাৰণা:
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা (Euclid's Division Lemma):
দুটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b দিয়া থাকিলে, এনে দুটা অদ্বিতীয় সংখ্যা q (ভাগফল) আৰু r (ভাগশেষ) থাকিব যাতে:a = bq + r, 0 ≤ r < bইউক্লিডৰ বিভাজন কলনবিধি (Euclid's Division Algorithm):
দুটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ. / HCF) উলিওৱাৰ বাবে ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাটো বাৰে বাৰে ব্যৱহাৰ কৰা হয়, যেতিয়ালৈকে ভাগশেষ (r) শূন্য (0) নহয়। ভাগশেষ 0 হলে, সেই পৰ্যায়ৰ ভাজকটোৱেই (divisor) হ'ব নিৰ্ণেয় গ.সা.উ.।
অনুশীলনী ১.১ (Exercise 1.1)
১. ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ. উলিওৱা:
(i) 135 আৰু 225
সমাধান:-
যিহেতু 225 > 135, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ:
225 = 135 ×1 + 90
যিহেতু ভাগশেষ 90 ≠ 0, আকৌ 135 আৰু 90 ৰ ওপৰত প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি
135 = 90 × 1 + 45
যিহেতু ভাগশেষ 45≠ 0, আকৌ 90আৰু 45 ৰ ওপৰত প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি
90 = 45 × 2 + 0
ইয়াত ভাগশেষ 0 হ’ল। এই পৰ্যায়ত ভাজক 45।
উত্তৰ: গ.সা.উ. (135, 225) = 45
(ii) 196 আৰু 38220
সমাধান:-
যিহেতু 38220 > 196, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ:
38220 = 196 ×195 + 0
প্ৰথম পৰ্যায়তে ভাগশেষ 0 পালো। এই পৰ্যায়ত ভাজক 196।
উত্তৰ: গ.সা.উ. (196, 38220) = 196
(iii) 867 আৰু 255
সমাধান :-
যিহেতু, 867 > 255
876 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
এতেকে , ভাজক = 51
(iv) 272 আৰু 1032
সমাধান:
যিহেতু 1032 > 272:
1032 = 272 × 3 + 216
272 = 216 × 1 + 56
216 = 56 × 3 + 48
56 = 48 × 1 + 8
48 = 8 × 6 + 0
ভাগশেষ 0 হ'ল, সেয়ে ভাজক 8।
উত্তৰ: গ.সা.উ. (272, 1032) = 8
(v) 405 আৰু 2520
সমাধান:
যিহেতু 2520 > 405:
2520 = 405 × 6 + 90
405 = 90 × 4 + 45
90 = 45 × 2 +0
ভাগশেষ 0 হ'ল, সেয়ে ভাজক 45।
উত্তৰ: গ.সা.উ. (405, 2520) = 45
(vi) 155 আৰু 1385
সমাধান:
যিহেতু 1385 > 155:
1385 = 155 × 8 + 145
155 = 145 × 1 +10
145 = 10 × 14 + 5
10 = 5 × 2 +0
ভাগশেষ 0 হ'ল, সেয়ে ভাজক 5।
উত্তৰ: গ.সা.উ. (155, 1385) = 5
(vii) 384 আৰু 1296
সমাধান:
যিহেতু 1296 > 384:
1296 = 384 × 3 +144
384 = 144 × 2 + 96
144 = 96 × 1 + 48
96 = 48 × 2 + 0
ভাগশেষ 0 হ'ল, সেয়ে ভাজক 48।
উত্তৰ: গ.সা.উ. (384, 1296) = 48
(viii) 1848 আৰু 4058
সমাধান:
যিহেতু 4058 > 1848:
4058 = 1848 ×2 + 362
1848 = 362 × 5 + 38
362 = 38 × 9 + 20
38 = 20 ×1 + 18
20 = 18 11 + 2
18 = 2 × 9 + 0
ভাগশেষ 0 হ'ল, সেয়ে ভাজক 2।
উত্তৰ: গ.সা.উ. (1848, 4058) = 2
২. দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 6q+1 বা 6q+3, বা 6q+5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল,
a যিকোনো এটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 6।
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি,
a=6q+r, '0 ≤ r < 6q ≥ 0
অৰ্থাৎ r ৰ মান হ'ব পাৰে: 0, 1, 2, 3, 4, 51
অতএব, a ৰ সম্ভাৱ্য ৰূপবোৰ হ'ল:
a = 6q = 2(3q) (যুগ্ম সংখ্যা, কাৰণ ই 2 ৰে বিভাজ্য)
a = 6q + 1 = 2(3q) + 1 (অযুগ্ম)
a = 6q + 2 = 2(3q + 1) (যুগ্ম)
a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1 (অযুগ্ম)
a = 6q + 4 = 2(3q + 2) (যুগ্ম)
a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1 (অযুগ্ম)
যিহেতু এ এটা অযুগ্ম হ'ব নোৱাৰে।
য়েহে ই 6q, 6q + 2,69 +4
এতেকে
যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 6q+1, 6q+3 বা 6q+5 আৰ্হিৰ। (প্ৰমাণিত)
৩. 616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম-খোজ কাঢ়ি যাবলগীয়া হ'ল। তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হ'ব?
সমাধান:
স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা হ'ব 616 আৰু 32 ৰ গ.সা.উ. (HCF)। ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রযেয়িকা প্রয়োগ কৰি:
616 = 32 × 19 +8
32 = 8 × 4 + 0
যিহেতু এই পর্যায়ত ভাগশেষ । আৰু ভাজক ৪, সেয়েহে, গ.সা.উ. (616, 32) = 81
উত্তৰ: স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা হ'ব ৪ টা।
৪. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ, য'ত m এটা অখণ্ড সংখ্যা।
সমাধান:
ধৰা হ'ল এ এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b=31
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা মতে,
a = 3q + r ' r = 0, 1, 2
এতিয়া, a = 3q, 3q + 1 বা 3q + 2
প্রথম অৱস্থা (r = 0) ;
a = 3q
দুয়োপিনে বৰ্গ কৰি:
a² = (3q)² = 9q² = 3.3q² = 3m [m = 3q²)
দ্বিতীয় অৱস্থা (r = 1)
a = 3q + 1
দুয়োপিনে বৰ্গ কৰি:
a² = (3q+1)² = (3q)² +2.3q.1 + 1
= 9q² + 6q + 1
= 3(3q²+2q) + 1
= 3m + 1 [ m = 3q² + 2q ]
তৃতীয় অৱস্থা (r = 2)
a = 3q + 2
দুয়োপিনে বৰ্গ কৰি:
a² = (3q + 2)² = 9q² + 2.3q.2 + 2²
= 9q² + 12q + 4
= 3(3q² + 4q +1) + 1
= 3m + 1 [m = 3q²+4q +1]
:. যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গ 3m বা 3m + 1 আৰ্হিৰ। (প্রমাণিত)
৫. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আৰ্হিৰ।
সমাধান:
ধৰা হ'ল a এটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 31 ইউক্লিডৰ প্ৰমেয়িকা মতে, a = 3q + r য'ত r = 0, 1, 21
প্রথম অৱস্থা (r = 0):
a = 3q
ঘনফল কৰি:
a³ = (3q)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m [, m = 3q³ ]
দ্বিতীয় অৱস্থা (r = 1)
a = 3q + 1
ঘনফল কৰি:
a³ = (3q + 1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 =9(3q³ )
=9m + 1
তৃতীয় অৱস্থা (r = 2)
a = 3q + 2
ঘনফল কৰি:
a³ = (3q + 2)³ = 27q³ + 54q³ + 36q + 8 =9(3q⁴)
= 9m + 2
গতিকে, যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফল 9m, 9m + 1 বা 9m + 8 আৰ্হিৰ। (প্রমাণিত)
৬. হিমাদ্রীয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকট সংগ্ৰহ কৰিলে। তাই এইবোৰ এক বিশেষ থুপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাকটিকট ৰৈ নাযায়। হিমাদ্রীয়ে সর্বাধিক কিমানটা থুপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব?
সমাধান:
সৰ্বাধিক থুপৰ সংখ্যা হ'ব 625 আৰু 325 ৰ গ.সা.উ.
(HCF)1
ইউক্লিডৰ বিভাজন কলনবিধি অনুসৰি:
625 325 ×1 +300
325 = 300 × 1 + 25
300 25 × 12+0
যিহেতু ভাগশেষ । আৰু শেষ ভাজক 25,
সেয়েহে, গ.সা.উ. (625, 325) = 251
উত্তৰ: হিমাদ্রীয়ে সর্বাধিক 25 টা থুপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব।
৭. দুডাল ৰছীৰ দৈর্ঘ্য ক্রমে 64 ছে.মি. আৰু ৪০ ছে.মি.। দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে। অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োেডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা তেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈর্ঘ্য কিমান হ'ব?
সমাধান:
ৰছীৰ টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈর্ঘ্য হ'ব 64 আৰু 80 ৰ গ.সা.উ.
(HCF)1
ইউক্লিডৰ বিভাজন কলনবিধি অনুসৰি:
8064 x 1 + 16
6416x4+0
যিহেতু ভাগশেষ । আৰু ভাজক 16,
সেয়েহে, গ.সা.উ. (64, 80) = 161
উত্তৰ: কাটি উলিয়াব পৰা টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈর্ঘ্য হ'ব 16 ছে.মি.।